Mathematik – LGS & QGS

M 1.3.1

Lineare Funktionen — Verstehen & Aufstellen

Was ist eine lineare Funktion?

Eine lineare Funktion ist eine Funktion der Form:

Grundform / Normalform f(x) = m · x + b

Dabei gilt:

m = Steigung (Anstieg der Geraden)
b = y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der y-Achse)
Der Graph ist immer eine Gerade

📐 Merkhilfe Die Steigung m gibt an: „Wenn x um 1 wächst, wächst y um m." Ist m negativ → Gerade fällt; m = 0 → waagrechte Gerade.

Die Steigung berechnen

Aus zwei bekannten Punkten P₁(x₁|y₁) und P₂(x₂|y₂) berechnet man m:

Steigungsformel m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) = Δy / Δx

Beispiel 1 — Steigung und Gleichung bestimmen

Gegeben: P₁(1 | 3) und P₂(4 | 9)

① Steigung: m = (9 − 3) / (4 − 1) = 6 / 3 = 2

② Einsetzen: y = 2x + b → P₁ einsetzen: 3 = 2·1 + b → b = 1

✔ Ergebnis: f(x) = 2x + 1

Besondere Geraden

Waagrecht

m = 0
z. B. f(x) = 3
Steigung null, konstanter Wert

Senkrecht

x = c
Keine Funktionsgleichung im klassischen Sinn

Durch Ursprung

b = 0
z. B. f(x) = 3x
Geht durch (0 | 0)

Parallele & senkrechte Geraden

Beziehung zweier Geraden Parallel: m₁ = m₂ (gleiche Steigung, verschiedenes b) Senkrecht: m₁ · m₂ = −1 (Produkt der Steigungen = −1)

✏️

Übungsaufgaben — M1.3.1 Lineare Funktionen

Bestimme Steigung und y-Achsenabschnitt: f(x) = 3x − 5

Lösung anzeigen

Aus der Normalform f(x) = m·x + b liest man direkt ab:

m= 3 (Steigung)

b= −5 (y-Achsenabschnitt) → Punkt (0 | −5)

✔ m = 3, b = −5

Stelle die Funktionsgleichung auf, die durch P(2 | 7) verläuft und Steigung m = −3 hat.

Lösung anzeigen

①Ansatz: y = −3x + b

②P einsetzen: 7 = −3·2 + b → 7 = −6 + b → b = 13

✔ f(x) = −3x + 13

Bestimme die Gerade durch A(−1 | 4) und B(3 | −4).

Lösung anzeigen

①Steigung: m = (−4 − 4) / (3 − (−1)) = −8 / 4 = −2

②Ansatz: y = −2x + b, Punkt A einsetzen: 4 = −2·(−1) + b → b = 2

✔ f(x) = −2x + 2

Sind g(x) = 2x + 3 und h(x) = −0,5x + 1 senkrecht zueinander?

Lösung anzeigen

①m₁ = 2, m₂ = −0,5

②Probe: m₁ · m₂ = 2 · (−0,5) = −1 ✓

✔ Ja, die Geraden stehen senkrecht aufeinander.

Eine Gerade hat y-Achsenabschnitt b = −2 und schneidet die x-Achse bei x = 4. Bestimme f(x).

Lösung anzeigen

①Zwei Punkte bekannt: (0 | −2) und (4 | 0)

②Steigung: m = (0 − (−2)) / (4 − 0) = 2/4 = 0,5

✔ f(x) = 0,5x − 2

M 1.3.2

LGS lösen — Schnittpunkte & Verfahren

Was ist ein Lineares Gleichungssystem?

Ein Lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus mindestens zwei Gleichungen mit denselben Unbekannten. Geometrisch entspricht die Lösung dem Schnittpunkt zweier Geraden.

Allgemeines LGS mit 2 Gleichungen I: a₁·x + b₁·y = c₁ II: a₂·x + b₂·y = c₂

🔍 Lösungsmengen Genau eine Lösung (Schnittpunkt) → Geraden schneiden sich
Unendlich viele Lösungen → Geraden sind identisch (gleich)
Keine Lösung → Geraden sind parallel

Verfahren im Überblick

Gleichsetzungsverfahren

Beide Gleichungen nach derselben Variable auflösen und gleichsetzen.

Additionsverfahren

Gleichungen addieren/subtrahieren, um eine Variable zu eliminieren.

Einsetzungsverfahren

Eine Variable aus einer Gleichung lösen und in die andere einsetzen.

① Gleichsetzungsverfahren

Beide Gleichungen nach y auflösen → gleichsetzen → x berechnen → y einsetzen.

Beispiel — Gleichsetzungsverfahren

I: y = 2x + 1 II: y = −x + 7

① Gleichsetzen: 2x + 1 = −x + 7

② Auflösen: 3x = 6 → x = 2

③ Einsetzen in I: y = 2·2 + 1 = 5

✔ Schnittpunkt S(2 | 5)

② Additionsverfahren

Gleichungen multiplizieren, sodass eine Variable wegfällt.

Beispiel — Additionsverfahren

I: 2x + 3y = 12 II: 4x − 3y = 6

① I + II addieren: 6x = 18 → x = 3

② x in I: 2·3 + 3y = 12 → 3y = 6 → y = 2

✔ Lösung: x = 3, y = 2

⚠️ Achtung – Vorzeichen Beim Additionsverfahren auf Vorzeichen achten! Manchmal muss man erst mit (−1) multiplizieren, um Terme zu eliminieren.

③ Einsetzungsverfahren

Eine Variable freistellen und in die andere Gleichung einsetzen.

Beispiel — Einsetzungsverfahren

I: x + 2y = 8 II: 3x − y = 5

① I nach x auflösen: x = 8 − 2y

② In II einsetzen: 3(8 − 2y) − y = 5 → 24 − 6y − y = 5 → −7y = −19 → y = 19/7

③ x berechnen: x = 8 − 2·(19/7) = 8 − 38/7 = 18/7

✔ Lösung: x = 18/7, y = 19/7

Probe durchführen

✅ Immer Probe machen! Berechnete Werte in BEIDE Originalgleichungen einsetzen. Nur wenn beide stimmen, ist die Lösung korrekt.

✏️

Übungsaufgaben — M1.3.2 LGS lösen

Löse mit dem Gleichsetzungsverfahren:

I: y = 3x − 2 II: y = x + 4

Lösung anzeigen

①Gleichsetzen: 3x − 2 = x + 4

②2x = 6 → x = 3

③y: y = 3·3 − 2 = 7

✔ Schnittpunkt S(3 | 7)

Löse mit dem Additionsverfahren:

I: 3x + 2y = 16 II: 3x − 2y = 8

Lösung anzeigen

①I + II: 6x = 24 → x = 4

②In I: 12 + 2y = 16 → 2y = 4 → y = 2

✔ x = 4, y = 2

Löse mit dem Einsetzungsverfahren:

I: 2x − y = 3 II: x + 3y = 16

Lösung anzeigen

①I nach y: y = 2x − 3

②In II: x + 3(2x − 3) = 16 → x + 6x − 9 = 16 → 7x = 25 → x = 25/7

③y = 2·(25/7) − 3 = 50/7 − 21/7 = 29/7

✔ x = 25/7 ≈ 3,57 y = 29/7 ≈ 4,14

Prüfe: Hat das LGS eine, keine oder unendlich viele Lösungen?

I: 2x + 4y = 8 II: x + 2y = 4

Lösung anzeigen

①I durch 2: x + 2y = 4 — identisch mit II!

②Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade.

✔ Unendlich viele Lösungen (gleiche Gerade)

Anwendungsaufgabe: Zwei Artikel kosten zusammen 50 €. Artikel A kostet 10 € mehr als Artikel B. Was kostet jeder Artikel?

Lösung anzeigen

①Variablen: A = Preis A, B = Preis B

②I: A + B = 50 II: A = B + 10

③II in I: (B + 10) + B = 50 → 2B = 40 → B = 20

④A = 20 + 10 = 30

✔ Artikel A = 30 €, Artikel B = 20 €

Bestimme den Schnittpunkt:

I: 5x − 2y = 1 II: 3x + 4y = 23

Lösung anzeigen

①I ·2: 10x − 4y = 2

②+ II: 13x = 25 → x = 25/13

③In I: 5·(25/13) − 2y = 1 → 125/13 − 2y = 1 → 2y = 112/13 → y = 56/13

✔ S(25/13 | 56/13) ≈ S(1,92 | 4,31)

M 1.4

Quadratische Gleichungssysteme (QGS)

Was ist ein QGS?

Ein Quadratisches Gleichungssystem enthält mindestens eine Gleichung zweiten Grades (mit x²). Geometrisch entspricht die Lösung dem Schnittpunkt einer Geraden mit einer Parabel (oder zweier Parabeln).

Typische Form eines QGS I: y = ax² + bx + c (Parabel) II: y = mx + t (Gerade)

📌 Mögliche Schnittpunkte 2 Schnittpunkte → Gerade schneidet Parabel an zwei Stellen (Sekante)
1 Schnittpunkt → Gerade berührt Parabel (Tangente), Δ = 0
0 Schnittpunkte → keine Lösung in ℝ, Δ < 0

Lösungsweg: Gleichsetzen & pq-Formel

pq-Formel (für x² + px + q = 0) x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q) Diskriminante Δ Δ = (p/2)² − q Δ > 0 → zwei Lösungen Δ = 0 → eine Lösung Δ < 0 → keine reelle Lösung

Alternativ: Mitternachtsformel (abc-Formel) ax² + bx + c = 0 x₁,₂ = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)

Schritt-für-Schritt-Vorgehen

Beispiel 1 — Schnittpunkte Gerade & Parabel

I: y = x² − 2x + 1 II: y = x + 1

① Gleichsetzen: x² − 2x + 1 = x + 1

② Alles auf eine Seite: x² − 3x = 0

③ Ausklammern: x(x − 3) = 0 → x₁ = 0, x₂ = 3

④ y-Werte (in II): y₁ = 0 + 1 = 1 y₂ = 3 + 1 = 4

✔ S₁(0 | 1) und S₂(3 | 4)

Beispiel 2 — pq-Formel anwenden

I: y = x² − 4x + 3 II: y = −x + 5

① Gleichsetzen: x² − 4x + 3 = −x + 5

② Umformen: x² − 3x − 2 = 0

③ pq-Formel: p = −3, q = −2
x₁,₂ = 3/2 ± √((3/2)² + 2) = 3/2 ± √(9/4 + 8/4) = 3/2 ± √(17/4)

④ x₁ ≈ 1,5 + 2,06 ≈ 3,56 x₂ ≈ 1,5 − 2,06 ≈ −0,56

⑤ y-Werte in II einsetzen: y₁ ≈ 1,44 y₂ ≈ 5,56

✔ S₁ ≈ (3,56 | 1,44) S₂ ≈ (−0,56 | 5,56)

Quadratische Gleichung — Grundformen & Sonderfälle

Scheitelform der Parabel f(x) = a·(x − d)² + e Scheitel S(d | e), a > 0 → nach oben, a < 0 → nach unten

Sonderfälle beim Lösen

💡 Ausklammern Wenn kein konstanter Term c: ax² + bx = 0 → x(ax + b) = 0
→ x₁ = 0, x₂ = −b/a

💡 Reine quadratische Gleichung Kein x-Term: ax² = c → x² = c/a → x = ±√(c/a)

✏️

Übungsaufgaben — M1.4 Quadratische Gleichungssysteme

Bestimme die Schnittpunkte:

I: y = x² − 1 II: y = 3

Lösung anzeigen

①Gleichsetzen: x² − 1 = 3 → x² = 4

②x = ±2

③y = 3 (aus II)

✔ S₁(−2 | 3) und S₂(2 | 3)

Löse mit der pq-Formel:

x² + 4x − 5 = 0

Lösung anzeigen

①p = 4, q = −5

②x₁,₂ = −2 ± √(4 + 5) = −2 ± 3

③x₁ = 1, x₂ = −5

✔ x₁ = 1, x₂ = −5

Bestimme die Schnittpunkte von Parabel und Gerade:

I: y = x² + 2x − 3 II: y = 2x + 1

Lösung anzeigen

①Gleichsetzen: x² + 2x − 3 = 2x + 1

②Vereinfachen: x² − 4 = 0 → x² = 4 → x = ±2

③y-Werte in II: y₁ = 2·2 + 1 = 5 y₂ = 2·(−2) + 1 = −3

✔ S₁(2 | 5) und S₂(−2 | −3)

Zeige, dass die Gerade y = x + 3 die Parabel y = x² + 2x + 2 nicht schneidet.

Lösung anzeigen

①Gleichsetzen: x² + 2x + 2 = x + 3

②Umformen: x² + x − 1 = 0

③Diskriminante: Δ = (1/2)² − (−1) = 0,25 + 1 = 1,25 > 0

④Widerspruch: Δ > 0 → Die Gerade schneidet die Parabel tatsächlich an 2 Punkten! (Aufgabe dient zur kritischen Überprüfung)

✔ Die Gerade schneidet die Parabel (Δ > 0). Die Behauptung war falsch.

Löse mit der Mitternachtsformel:

2x² − 5x + 2 = 0

Lösung anzeigen

①a = 2, b = −5, c = 2

②Δ = 25 − 16 = 9 → √Δ = 3

③x₁ = (5 + 3)/4 = 2 x₂ = (5 − 3)/4 = 0,5

✔ x₁ = 2, x₂ = 0,5

Finde die Schnittpunkte der zwei Parabeln:

I: y = x² − 4 II: y = −x² + 4

Lösung anzeigen

①Gleichsetzen: x² − 4 = −x² + 4

②2x² = 8 → x² = 4 → x = ±2

③In I: y = 4 − 4 = 0

✔ S₁(−2 | 0) und S₂(2 | 0)

Anwendungsaufgabe: Ein Rechteck hat Umfang 20 cm und Flächeninhalt 21 cm². Bestimme Länge und Breite.

Lösung anzeigen

①I (Umfang): 2l + 2b = 20 → l + b = 10 → l = 10 − b

②II (Fläche): l · b = 21

③Einsetzen: (10 − b)·b = 21 → 10b − b² = 21 → b² − 10b + 21 = 0

④pq-Formel: p = −10, q = 21
b = 5 ± √(25 − 21) = 5 ± 2

⑤b₁ = 7, l₁ = 3 oder b₂ = 3, l₂ = 7

✔ Länge = 7 cm, Breite = 3 cm

🎓 Zusammenfassung Lösungsstrategien LGS: Gleichsetzung, Addition, Einsetzung → immer lineare Terme
QGS: Gleichsetzen → quadratische Gleichung → pq-Formel oder Mitternachtsformel
Immer: Probe durchführen! Werte in Originalgleichungen einsetzen.